Algorithmische Mathematik by Winfried Hochstättler (auth.)

By Winfried Hochstättler (auth.)

Mit diesem Buch wollen wir verschiedene Teilgebiete der Mathematik aus algorithmischer Perspektive vorstellen und dabei auch Implementierungs- und Laufzeitaspekte diskutieren. Gleichzeitig möchten wir, bei einer verkürzten Grundausbildung in Mathematik in naturwissenschaftlichen und informatischen Studiengängen, möglichst viele Teilaspekte der Mathematik vorstellen und vielleicht zu einer vertiefenden Beschäftigung mit dem einen oder anderen Aspekt anregen.

Unser Ziel ist es dabei nicht, den Leser zu einem versierten Anwender der besprochenen Algorithmen auszubilden, sondern wir wollen, immer ausgehend von konkreten Problemen, examine- und Lösungsstrategien in den Mittelpunkt stellen. Hierbei spielen insbesondere Beweise und Beweistechniken eine zentrale Rolle.

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TSP: Leading a Development Team (The SEI Series in Software Engineering)

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23. Wir haben von n Freunden je einen Witz aufgeschnappt und uns zwar die Pointe, aber nicht den Erz¨ahler gemerkt. Als kommunikative Menschen erz¨ahlen wir jedem der Freunde genau einen zuf¨alligen dieser n Witze, aber jedem einen anderen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir keinem Freund seinen eigenen Witz erz¨ahlen? Abstrakt suchen wir nach der Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf¨allige Permutation keinen Fixpunkt hat. Betrachten wir n¨amlich die Abbildung, die jedem Witze erz¨ahlenden Freund den Empf¨anger des Witzes zuordnet, so erhalten wir eine Permutation σ : {1, .

B) Die Aussage A oder B ist offensichtlich logisch a¨ quivalent zu wenn B nicht gilt, muss zumindest ” A gelten“. Wir k¨onnen also hier auch die a¨ quivalente Aussage ∀x, y ∈ M : [x] ∩ [y] = 0/ ⇒ [x] = [y] beweisen. Seien also x, y ∈ M und z ∈ [x] ∩ [y]. Wir zeigen [x] ⊆ [y]: Sei dazu t ∈ [x] , wir haben also xRz, yRz, xRt. Wegen Symmetrie ( xRt =⇒ tRx ) folgt tRx aus xRt . Mit der Transitivit¨at ((tRx und xRz) =⇒ tRz ) folgt tRz aus tRx und xRz . Analog schließen wir mit (yRz =⇒ zRy) ((tRz und zRy) =⇒ tRy) und auf tRy.

B) F¨ur je zwei x, y ∈ M ist (entweder) [x] = [y] oder [x] ∩ [y] = 0/ . Also bilden die Aquivalenzklassen eine Partition von M . ¨ c) R ist durch ihre Aquivalenzklassen vollst¨andig bestimmt. Beweis. a) Da R reflexiv ist, gilt stets x ∈ [x]. b) Die Aussage A oder B ist offensichtlich logisch a¨ quivalent zu wenn B nicht gilt, muss zumindest ” A gelten“. Wir k¨onnen also hier auch die a¨ quivalente Aussage ∀x, y ∈ M : [x] ∩ [y] = 0/ ⇒ [x] = [y] beweisen. Seien also x, y ∈ M und z ∈ [x] ∩ [y]. Wir zeigen [x] ⊆ [y]: Sei dazu t ∈ [x] , wir haben also xRz, yRz, xRt.

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