Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer

By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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2), d. h. 1). b) Jede Integralfläche läßt sich von einer I-parametrigen Menge von Charakteristiken aufspannen. Behauptung a) folgt unmittelbar aus Ziff. 1 und wird in Ziff. 3 präzisiert werden. Um Behauptung b) einzusehen, gehen wir von einer vorliegenden Integralfläche t = t (x, y) aus und setzen t (x, y) in die beiden ersten GIn. 2) ein: d% dS ( = a x, y, I(x, y)), dy dS = b(x, y, I(x, y) ) . § 7. Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabh. Veränderlichen. 33 Die Lösungen x(s), y(s) dieses Systems bestimmen zusammen mit y (s)) eine I-parametrige Kurvenschar, welche die vorgegebene Integralfläche aufspannt.

14. Eine von einem Punkt A ausgehende kleine Störung breitet sich nach der Laufzeit t auf einen Kreis aus, dessen Mittelpunkt M vom Störungszentrum A sich um die Strecke ut wegbewegt hat und dessen Radius gleich ät ist. Infolgedessen pflanzt sich die Störung bei ä> u nach hinreichend langer Zeit auf die ganze x, y-Ebene aus, während sie bei ä< u nur einen von A ausgehenden Winkelraum 2iX beeinflußt (MACHscher Winkel iX = arc sinälu). Wenn man also in einer Unterschallströmung an irgendeiner Stelle eine Änderung der Randbedingungen vornimmt, also z.

H. die NUnbekannten lassen sich einzeln der Reihe nach aus den N linearen Gleichungen berechnen. 4) übertragen. Der Bestimmtheitsbereich ist das in Abb. 9 dargestellte Gitter. Der Abhängigkeitsbereich eines Gitterpunktes P ist der (in Abb. 9 schraffierte) Teil der vorgegebenen Quadratreihe, welcher von den beiden durch P gehenden Geraden x ± y = const ausgeschnitten wird. Ebenso wird der Einflußbereich des schraffierten Teils der Quadratreihe von Geraden x ± y = const begrenzt. Wie in § 2 bezeichnen wir diese Geraden x ± y = const, welche hier als Diagonalen des Gitters erscheinen, als Charakteristiken.

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